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受験知識大学編

高校では教えない因数分解の効率的な解き方

受験生の皆さんが入試で役立つ教科的知識を深く掘り下げて、皆さんにご紹介したいと思います。

受験科目の中でも特に点数が伸びづらいといわれている数学は、問題を解いていく中で計算力を鍛えていくことはかなり重要です。今回は、定数部分の数が大きい二次関数について因数分解を速く正確に解くためのコツをお伝えします。

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まず、x²
の係数が1の単純な2次関数を因数分解します。

例:x²-3x+2=(x-1)(x-2)となり、簡単に因数分解ができます。

掛けて2、足して-3になる2数を探すことになるので、-2と-1しかありません。

 

次に、x^2の係数が1ではない二次関数についてです。

例:4x²+x-18の因数分解

一般には『たすき掛け』という方法をとります。高校の教科書などではこの解き方を学ぶと思います。

1              2                 4×2=8

4             -9                1×(-9)=-9

(x+2)(4x-9)となります。

 

このようにしていきますが、例のように定数部分が-18のように因数をたくさん持つような数になる場合、組み合わせをそれぞれで考えなくてはなりません。そこで、以下のように計算します。

まずは、x²の係数4と定数部分を-18をかけ、4×(-18)=72となります。そして掛けてこの72、足してxの係数-1になる2数8と-9をみつけます。この数を下のように縦に並べます。

 8

-9

さらに、x²の係数4を先ほどの2数の左に記入します。

4       8

4      -9

今度は横に見てみて、4と8のように両方同じ数で割れるもの(今回は4)は割って右に記入します。

4       8   →4で割ると→   1      2

4       9

最後横に並べた2つの行中、右にある数にxをつけて、(1x+2)(4x-9)となります。これが、4x²+x-18の因数分解をした結果です。

このような方法は『左右積法』と呼ばれ、原理はx²の係数である4で式全体をくくって計算するというところからきていますが、証明や式を使った説明は割愛させていただきます。

 

しかし、このような方法でも苦労するであろ2次関数の例が以下です。

例:x²-33x+270の因数分解

定数部分が大きい数の例ですが、これを先ほどの『左右積法』で解くとx²の係数と定数部分を掛けるのでかなり数が大きくさらに因数を見つけることが困難になります。

そこで、みなさんに因数表を利用した因数分解の解法をご紹介します。

まず、因数表の説明です。x^2の係数と定数部分を掛けます。1×270=270となります。さらに、これを因数分解します。270=2×3^3×5ですね。これを表に表すのですが、まず縦に2^0と2^1を並べます。そして、縦に3^0、3^1、3^2、3^3を以下のように並べます。そして、2縦の列に空いているところを縦横で掛け算して埋めます。

1        2

3        6

9      18

27    54

因数が2種類の場合はここで終わりですが、例の場合は5を因数に持っているので、表の横に、すべての数に5を掛けた数を記入します。

1        2        5      10

3        6      15      30

9      18      45      90

27    54    135    270

この表を因数表と言います。この表はとても面白く、表の中心(今回は6、15、18、45の間)から対称の2数は掛けると式の定数部分270になるのです。(54×5=2×135=270です。)

ここから、足してxの係数である-33になる数を探します。この場合は、表の数値をすべて-にして考え-15と-18であるとわかります。

あとは、先ほどの左右積法で行った方法で、縦にx²の係数1、その右側に縦で-15と-18を記入します。

1      -15

1      -18

すると、因数分解した結果は(x-15)(x-18)になることが分かります。

 

因数分解は様々な場面で複雑な形で使われます。いかに速く正確に解答できるかは重要です。試してみてください。

 

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